Fourieranalyse

Alle geluiden, en andere verschijnselen die een golfkarakter hebben, zijn meestal opgebouwd uit verschillende signalen. Het kan soms erg handig zijn om te achterhalen uit welke signalen je golf bestaat. Hiervoor wordt fourieranalyse, in het bijzonder de fourierreeks gebruikt. De fourierreeks stelt men in staat om van een zekere functie, die afhangt van de tijd, de verschillende golven waaruit deze is opgebouwd, te achterhalen. Hierdoor wordt heel snel duidelijke uit welke golven, met welke frequenties, een zekere functie bestaat. Fourierreeksen worden gegeven door:

(1)    \begin{equation*} f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_{k} e^{ik\omega_{0}t} \end{equation*}

Waarbij f_{k} gegeven wordt door:

(2)    \begin{equation*} f_{k}= \frac{1}{T} \int_{T/2}^{T/2}f(t)e^{-ik\omega_{0}t}dt \end{equation*}

Hierbij is f(t) een zekere tijdsafhankelijke functie die benaderd wordt door oneindig veel sinussen en cosinussen. f_{k} is de zogenaamde fouriercoëfficiënt, die aangeeft ‘hoeveel’ er van een bepaalde frequentie in het oorspronkelijke signaal zat [1].

Als er gemeten wordt aan een analoog signaal dient er gehouden te worden met aliasing. Aliasing houdt in dat een frequentie in het signaal niet gemeten kan worden als deze hoger is dan de helft van de bemonsteringsfrequentie. Om aliasing te voorkomen is het volgens Shannon en Nyquist’s bemonsteringstheorie noodzakelijk dat de bemonsteringsfrequentie meer dan twee keer zo hoog is als de hoogste frequentie van het signaal waaraan gemeten wordt.

Mocht het zo zijn dat de bemonsteringsfrequentie te laag is, dan hebben de hogere frequenties natuurlijk alsnog invloed op de meting. De frequentie wordt dan als het ware om de helft van de bemonsteringsfrequentie (de zogenaamde Nyquistfrequentie) heen geklapt. Stel dus dat iemand met een bemonsteringsfrequentie van 10 kHz aan een signaal van 8 kHz gaat meten. Dit zal resulteren in een frequentiepiek van 2 kHz. [2]

Voorbeeld van Fourieranalyse. Het linker signaal wordt geanalyseerd. De rechter grafiek beschrijft in welke mate de verschillende frequenties in het signaal terugkomen.

Voorbeeld van Fourieranalyse. Het linker signaal wordt geanalyseerd. De rechter grafiek beschrijft in welke mate de verschillende frequenties in het signaal terugkomen.

Meer over het geluid van druppels

Referenties
[1]: Stoorvogel, A.; Signals and Transforms; Universiteit Twente; 2012
[2]: Nyquist, H. (1928) Certain topics in telegraph transmission theory. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol. 47 (Apr.), pp. 617-644.